Công Thức Tính Thể Tích Khối Nón: Tròn Xoay, Cụt Và Bài Tập kèm ví dụ dễ hiểu

Hãy cùng DanhKhoiReal đi qua một hành trình khám phá về khối nón – một quy luật thú vị trong không gian ba chiều. Tưởng tượng một hình với mặt đáy là hình tròn và một đỉnh độc đáo – đó chính là khối nón, giống như một ngọn núi thu nhỏ. Bạn muốn biết làm thế nào để xác định thể tích của khối nón? Cực kỳ đơn giản! Chỉ cần lấy 1/3 giá trị của Pi, sau đó nhân với bình phương bán kính đáy và chiều cao của nón. Với công thức này, việc tính toán trở nên linh hoạt và hiệu quả.

tính thể tích khối nón

I. HÌNH NÓN VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN

Hình nón là một hình khối không gian ba chiều với mặt đáy là hình tròn và chỉ có một đỉnh duy nhất. Nó cũng có thể coi là một hình chóp mà đáy của nó là hình tròn. Để hiểu rõ hơn về hình nón và tính toán thể tích của nó, chúng ta cần xem xét một số khái niệm cơ bản:

Hình nón đều: Đây là dạng hình nón mà đỉnh của nó, khi chiếu xuống mặt đáy, trùng với tâm của hình tròn đáy.
Hình nón xiên: Đối lập với hình nón đều, hình nón xiên có đỉnh không chiếu vuông góc xuống tâm của mặt đáy. Thay vào đó, nó có thể chiếu xuống bất kỳ điểm nào trên mặt đáy mà không phải là tâm.
Hình nón tròn xoay: Đây là dạng hình nón mà đỉnh của nó được nối vuông góc với tâm của hình tròn đáy.
Hình nón cụt: Hình nón này có hai mặt đáy song song, tạo thành một phần nón bị cắt đi.
Đường sinh của hình nón: Đây là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường tròn đáy đến đỉnh của hình nón.

Mặc dù có sự khác biệt về hình dạng giữa các loại nón, công thức tính thể tích cho chúng thường giống nhau.

II. MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHÁI NIỆM HÌNH NÓN

Mặt nón tròn xoay: Mặt nón tròn xoay là mặt phẳng được tạo ra trong không gian khi quay một đường cong C quanh một đường thẳng d bất kỳ. Khi mặt phẳng P chứa đường thẳng d và đường cong C được quay quanh d 360 độ, mặt nón tròn xoay hình thành.
Hình nón và khối nón:
- Hình nón: Là phần không gian được giới hạn bởi một mặt nón và một mặt phẳng cắt nó. Dựa vào ví dụ, mặt nón N có trục là tam giác với đỉnh O và góc đỉnh là 2α. Khi mặt phẳng P vuông góc với tam giác tại I và mặt phẳng Q vuông góc tại O, P cắt N theo hình tròn T có tâm I. Phần không gian giữa hai mặt phẳng và hình tròn T tạo thành hình nón.
- Khối nón: Là phần bên trong của hình nón. Nếu hình nón được xác định bằng mặt phẳng, thì khối nón là khu vực không gian bên trong hình nón. Ví dụ, chiều cao của khối nón là khoảng cách từ đỉnh O đến mặt phẳng P.
- Các yếu tố cơ bản của hình nón: Đáy của nón là hình tròn T, đỉnh là O và chiều cao là khoảng cách từ O đến P. Một điểm M trên mặt phẳng P khi nối với O tạo thành đường sinh của hình nón.

III. CÁC CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI NÓN:

1. Công thức tính thể tích khối nón

Để xác định thể tích của hình nón, sử dụng công thức sau:

Trong đó:

$V$ : Thể tích hình nón.
$r$ : Bán kính mặt đáy của nón.
$h$ : Chiều cao của hình nón.
$π$ : Một hằng số xấp xỉ bằng 3,14.

Thể tích được tính bằng đơn vị mét khối (m^3)

2. Công thức tính thể tích khối nón tròn xoay

Thể tích của một khối nón tròn xoay được tính bằng công thức:

Trong đó:

$V$ : Thể tích khối nón tròn xoay.
$π$ : Số Pi, khoảng 3.14159.
$R$ : Bán kính của đáy khối nón tròn xoay.
$h$ : Chiều cao của khối nón tròn xoay.

Tính thể tích khối nón tròn xoay

Chú ý: Để kết quả tính toán chính xác, bán kính $R$ và chiều cao $h$ phải được đo bằng cùng một đơn vị (như cm, m, inch). Thể tích thu được sẽ theo đơn vị khối của đơn vị đo đó (ví dụ: cm^3, m^3).

3. Công thức tính thể tích khối nón cụt

Để xác định thể tích của một khối nón cụt, sử dụng công thức:

Trong đó:

$V$ : Thể tích của khối nón cụt.
$π$ : Số Pi, giá trị xấp xỉ 3.14159.
$r 1$ : Bán kính mặt đáy lớn.
$r 2$ : Bán kính mặt đáy nhỏ.
$h$ : Chiều cao của khối nón cụt.

Tính thể tích khối nón cụt

Chú ý: Để đảm bảo tính chính xác, $r 1$ , $r 2$ , và $h$ cần được đo bằng cùng một đơn vị đo.

4. Công thức tính diện tích xung quanh khối nón

Diện tích xung quanh của một hình nón được xác định bằng công thức:

Trong đó:

$S_{x q}$ : Diện tích xung quanh của hình nón.
$π$ : Số Pi, có giá trị xấp xỉ 3.14159.
$r$ : Bán kính mặt đáy của hình nón.
$l$ : Độ dài đường sinh của hình nón.

Lưu ý: Để kết quả tính toán chính xác, $r$ và $l$ cần được đo bằng cùng một đơn vị đo.

5. Công thức tính diện tích toàn phần hình nón

Diện tích toàn phần của một hình nón được tính bằng cách cộng diện tích xung quanh với diện tích mặt đáy:

Trong đó:

$S_{tp}$ : Diện tích toàn phần của hình nón.
$π$ : Số Pi, có giá trị xấp xỉ 3.14159.
$r$ : Bán kính mặt đáy của hình nón.
$l$ : Độ dài đường sinh của hình nón.

Lưu ý: $r$ và $l$ cần được đo bằng cùng một đơn vị để kết quả diện tích có đơn vị diện tích đúng (như cm^2, m^2).

6. Cách xác định đường cao, bán kính đáy, đường sinh của hình nón

Đường cao (h): Đường cao của hình nón là khoảng cách từ đỉnh của nón đến tâm mặt đáy nón.
Đường sinh (l): Đường sinh của hình nón là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường tròn đáy đến đỉnh của nón.
Bán kính đáy (r): Là khoảng cách từ tâm của mặt đáy đến bất kỳ điểm nào trên đường tròn mặt đáy.

Vì hình nón được tạo ra từ việc quay một tam giác vuông quanh cạnh góc vuông, các yếu tố của hình nón (bán kính đáy, đường cao và đường sinh) có mối quan hệ với tam giác vuông:

Khi biết đường cao h và bán kính đáy r, ta có thể xác định đường sinh l:
Khi biết đường sinh l và bán kính đáy r, ta có thể xác định đường cao h:
Khi biết đường sinh l và đường cao h, ta có thể xác định bán kính đáy r:

Những công thức trên giúp ta xác định mối quan hệ giữa các yếu tố cơ bản của hình nón và cách tính chúng khi biết một số thông tin cho trước.

IV. HƯỚNG DẪN CÁCH TÍNH THỂ TÍCH KHỐI NÓN CHI TIẾT

1. Cách tính diện tích mặt đáy của hình nón:

Cách tính diện tích mặt đáy của hình nón

Bước 1: Xác định bán kính mặt đáy. Trong hình minh họa (hình 1), bán kính mặt đáy của hình nón được cho là 3 inches.
Bước 2: Nếu đề bài cung cấp đường kính thay vì bán kính, bạn cần chia đường kính cho 2 để có bán kính. Vì đường kính là giá trị gấp đôi bán kính.
Bước 3: Sử dụng công thức tính diện tích hình tròn: Trong trường hợp này, với bán kính r = 3 inches, diện tích mặt đáy là:

Vậy, diện tích mặt đáy của hình nón trong ví dụ là 28.27 in2.

2. Cách tìm chiều cao của hình nón:

Cách tìm chiều cao của hình nón

Bước 1: Nhìn vào hình minh họa (hình trên) để xác định thông tin về chiều cao.
Bước 2: Chiều cao của hình nón được định nghĩa là khoảng cách từ đỉnh nón đến mặt đáy của nón, đo dọc theo hướng vuông góc với mặt đáy.
Bước 3: Trong ví dụ được cung cấp, chiều cao của hình nón đã được chỉ rõ là 5 inches.

Như vậy, chiều cao của hình nón trong ví dụ này là 5 inches.

3. Nhân diện tích mặt đáy với chiều cao của hình nón:

Ở ví dụ này, diện tích của hình nón là 28,27 in2 và chiều cao là 5 in, vậy bh = 28,27 * 5 = 141,35.

Để tính thể tích hình nón, lấy giá trị thu được ở phép tính trên nhân với 1/3 (hoặc chia cho 3)

Ở bước trên, bạn đã tính thể tích của hình trụ có thể tạo thành nếu mặt bên của hình nón được mở rộng và tạo thành một mặt đáy khác thay vì chụm lại tại một điểm. Chia giá trị thu được ở bước trên cho 3 ta sẽ có được thể tính của hình nón mà ta đang xét.

Vậy Thể tích của hình nón là 141,35 * 1/3 = 47,12.
Rút gọn các bước tính lại và được 1/3π325 = 47,12

Đừng quên ghi đơn vị của thể tích theo dạng inch khối hay mét khối. Trong ví dụ ở trên, các giá trị được tính theo inch, vậy nên thể tích cần được ghi là 47.12 in3.

V. HƯỚNG DẪN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI NÓN

Nếu bạn đã biết bán kính và chiều cao của hình nón, việc tính thể tích trở nên đơn giản. Nhưng nếu không, hãy tuân theo các bước sau:

Xác định bán kính r của khối nón:
- Nếu đề bài cung cấp đường kính (d), bán kính sẽ là
- Với chu vi mặt đáy cung cấp, bán kính được tìm thấy bằng cách chia chu vi cho 2π
- Nếu không có dữ liệu trên, hãy đo khoảng cách lớn nhất giữa ba điểm trên đường tròn để xác định đường kính, sau đó chia cho 2 để tìm bán kính.
Xác định diện tích mặt đáy S:
- Với bán kính r đã biết, diện tích mặt đáy sẽ là S=πr2.
- Nếu chưa biết r, quay lại bước 1.
Xác định chiều cao h:
- Nếu chiều cao được cung cấp, bạn chỉ cần sử dụng nó.
- Nếu biết đường sinh (l) và bán kính (r), sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông để tìm chiều cao.
- Nếu không có dữ kiện, đo chiều cao trực tiếp bằng thước.
Tính thể tích V của khối nón:
- Với các thông số đã biết, sử dụng công thức để xác định thể tích.

Với quy trình này, bạn sẽ dễ dàng xác định thể tích của khối nón từ các thông số cơ bản.

5/5 - (2 bình chọn)

Tags:

Bình luận